Фрактали

Вступ.

Історична довідка.

Пояснення поняття "фрактал".

Види фракталів.

Термін ″фрактал″ придумав у 1975р. французький матем. Бенуа Мандельброт(1924-2010), використавши його в книзі «Фрактальна геометрія природи».

Вчений народився у Варшаві,в 1936 емігрував з родиною до Франції. Після початку війни був змушений переїхати на південь країни − м.Тюль, де пішов у школу. Згодом, завдяки неабияким здібностям до геометрії, Б.Мандельброт стає студентом Сорбонни. Після цього, переїхавши у США, він закінчує Каліфорнійський інститут технології. У 1952 р. отримав докторський ступінь в одному з університетів Парижа. В 1955 р. одружився з Альетт Каган і переїхав у Женеву. З 1958 Б.Мандельброт проживає і працює в США. Він займається теорією ігор, економікою, географією, астрономією, фізикою... 

У 1993р. стає лауреатом премії Вольфа з фізики ″ за усвідомлення широкого розповсюдження фракталів та розвиток математичних методів для їх опису; він змінив наш погляд на природу.″

У середині 1960-х років Мандельброт розробив теорію так званої «фрактальної геометрії» або «геометрії природи». Її метою був аналіз зламаних, зморшкуватих та нечітких форм.В перекл. з лат. (fractus) - подрібнений, зламаний, розбитий.

Одним з перших хто описав фрактали в 1918 році був французький математик Гастон Жюліа. Але в нього були відсутні будь-які зображення. Комп'ютери зробили видимим те, що не могло бути дослідженим за часів Жюліа.

Фрактали використовуються при аналізі та класифікації сигналів складної форми, що виникають у різних областях, наприклад, при аналізі коливань курсу валют в економіці, у фізиці твердого тіла, в динаміці активних середовищ, для стиснення зображень.

Структури, схожі на фрактали, можна виявити в оточуючій нас природі: межі хмар, межі морських узбереж, турбулентні потоки в рідинах, тріщини в деяких породах, зимові візерунки на склі, зображення структури деяких речовин, отримані за допомогою електронного мікроскопа, кровоносна система серцевого м'яза, кореневі системи дерев і т.д. 

Головною ознакою фракталів є те, що вони володіють нетривіальною структурою при будь-якому масштабі. В цьому й полягає їхня відмінність від регулярних геометричних фігур (коло, еліпс і т. д.). Іншими словами можна сказати, що коли збільшуємо або зменшуємо масштаб перегляду фракталів, то їх вигляд не змінюється, якщо ж ми розглянемо невеличкий фрагмент регулярної фігури в дуже великому масштабі, він буде схожий на фрагмент прямої.

Фрактали прийнято класифікувати на:

1). Алгебраїчні (Найбільший за різноманітністю клас фракталів, що отримується за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах) 

(Множина Мандельброта, Множина Жюліа, Фрактали Ньютона, Трикутники Серпінського...)

(Множина Жюліа)

Множина Мандельброта

2). Геометричні (Всі ці фрактали одержують за допомогою геометричних маніпуляцій над вихідною фігурою, яку називають ініціюючим елементом.)

(сніжинка Коха, Крива Леві, Крива Гільберта, Фрактал Хартера-Хейтуэя, Множина Кантора, "Ковер Серпинского", Дерево Піфагора...)

(Сніжинка Коха - на різних етапах побудови)

Множина Кантора

3). Стохастичні фрактали (Представниками цього класу можна вважати траекторію броунівського руху, різні види рандомізованих фракталів, тобто таких, які можна отримати за допомогою рекурсивної процедури, в яку на кожному кроці введений випадковий параметр.) 

(Типовий представник даного класу– фрактал «Плазма»)

4). Детерміновані фрактали (Детермінованість — властивість алгоритму, яка передбачає, що в ньому усі вказівки повинні бути чіткими й однозначними: значення величин, які отримуються в конкретний момент часу, повинні визначатися значеннями величин, отриманими в попередні моменти часу.) 

5). Недетерміновані фрактали.