Тема 1. НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА. ГЕОМЕТРИЧНІ ФIГУРИ І ВЕЛИЧИНИ / Тема 1. Урок 14. Площі і об’єми геометричних фігур

Тема 1. Урок 14. Площі і об’єми геометричних фігур

Мохова Ольга Петрівна, вчитель математики, Вільногірська ЗОШ №4

 

Символи
Поняття
Твердження
Приклади
  П1, П2    

 

 

 

 

 

Символи

 

Поняття

1. Знайомство з формулами площі квадрата та прямокутника, введення поняття одиниць площі.

2. Введення поняття про такі просторові геометричні фігури як прямокутний паралелепіпед та куб

3. Знайомство з одиницями об`єму, поняттями об`єму фігури.

4. Формування навичок обчислення площ та об`ємів геометричних фігур.

 П1. Площа. Площа прямокутника.

З такою величиною як площа ти часто зустрічаєшся у повсякденному житті: площа квартири, площа дачної ділянки, площа поля тощо. Як можна виміряти площу фігури? Нагадаємо, що для вимірювання відрізків ми вводили одиничний відрізок, а для вимірювання кутів — одиничний кут. Взагалі, якщо хочуть виміряти якусь величину, вводять одиницю виміру.

За одиницю виміру площі обирають площу квадрата, сторона  якого дорівнює одиничному відрізку.

Такий квадрат називають одиничним. 

Наприклад:

квадрат зі стороною 1 м має площу один квадратний метр (1 м2);

квадрат зі стороною 1 см має площу один квадратний сантиметр (1 см2);

квадрат зі стороною 1 мм має площу один квадратний міліметр (1 мм2

 Виміряти площу фігури означає підрахувати, скільки одиничних квадратів, вона містить. 

Так, площа  фігури, яка складається із 7 квадратів площею 1 см2,  дорівнює 7 см2.

 

 

 

 

 

Але за допомогою формул можна швидше обчислити площу таких фігур як прямокутник та квадрат.

                                 

Правило обчислення:

Якщо одна сторона прямокутника дорівнює а одиничним відрізкам, а інша сторона — b одиничним відрізкам, то цей прямокутник можна розбити на а • b одиничних квадратів . Тому його площа дорівнює а • b квадратних одиниць.

Площа прямокутника дорівнює добутку довжин його сусідніх сторін:

S = аb,

де S — площа, а і b — довжини сусідніх сторін прямокутника, виражені в тих самих одиницях.

Оскільки у квадрата всі сторони рівні, то його площа обчислюється за формулою

S = а2,

де а — довжина сторони квадрата. Саме тому другий степінь числа називають квадратом числа.

 

Для спрощення виконання обчислень можна використати основні властивості площ:

·        якщо фігури рівні, то їхні площі рівні;

·        площа квадрата з одиничною стороною — одиничний квадрат;

·        якщо фігуру поділити на частини, то сума площ цих частин дорівнює площі фігури.

Для знаходження площ земельних ділянок використовують такі одиниці вимірювання як ар( 1 а) і гектар (1 га):

·        1 а = 10 м • 10 м = 100 м2,

·        1 га = 100 м • 100 м = 10 000 м2.

·         У побуті 1 ар часто називають соткою.

Наприклад, для обчислення площі квадрата зі стороною 5 см, потрібно 5*5=25 см2. Для знаходження  площі прямокутника зі сторонами 8см та 5 см, необхідно 8*5=40 см2

Щоб знайти площу земельної ділянки довжиною 15 м та шириною 10 м, треба 15*10= 150 м2.

Project Урок 8.Обчислення площі фігури

П2. Об`єми геометричних фігур

Можливо, коли ти був маленьким і грався кубиками, то складав фігури, які мають назву прямокутний паралелепіпед. 

                                                                       

Форму прямокутного паралелепіпеда мають коробка цукерок, книга, цеглина, коробка сірників, пакувальний ящик, пакет молока та інші предмети.

Прямокутний паралелепіпед

                                  

Зверху, знизу і з боків прямокутний паралелепіпед обмежений шістьма гранями. Кожна грань — це прямокутник.

Протилежні грані прямокутного паралелепіпеда рівні.

Сторони граней називають ребрами паралелепіпеда, вершини граней — вершинами паралелепіпеда.

У прямокутного паралелепіпеда 12 ребер. Однак, щоб мати уявлення про його розміри, достатньо розглянути будь-які три ребра, що виходять з однієї вершини. Довжини цих ребер називають вимірамипрямокутного паралелепіпеда. Щоб їх розрізняти, користуються назвами: довжина, ширина, висота.

                                

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі виміри рівні, називають кубом.

Наприклад: форму куба має відомий кубик - рубік.

 

Як і у випадках з іншими величинами (довжина, площа), треба ввести одиницю виміру об'єму.

За одиницю виміру об'єму обирають об'єм куба, ребро якого дорівнює одиничному відрізку.

Такий куб називають одиничним.

Для вимірювання об'ємів застосовують такі одиниці:

 кубічний міліметр (мм3), 

кубічний сантиметр (см3),

 кубічний дециметр (дм3), 

кубічний метр (м3), 

кубічний кілометр (км3).

Наприклад, кубічний дециметр — це об'єм куба з ребром 1 дм.

Таку одиницю виміру об'єму для рідин і газів ще називають літром.

Виміряти об'єм фігури  означає підрахувати, скільки одиничних кубів вона містить.

 Якщо довжина, ширина і висота прямокутного паралелепіпеда відповідно дорівнюють a, b, с одиничним відрізкам, то цей паралелепіпед неважко розбити на а • b • с одиничних кубів . А тому його об'єм дорівнює a' b ' с кубічних одиниць.

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів:

V = abc,

де V — об'єм, a, b і с — виміри паралелепіпеда, виражені в тих самих одиницях.

Задача. Знайди об`єм геометричної фігури, зображеної на малюнку. (Рішення внизу малюнка).

Оскільки у куба всі ребра рівні, то його об'єм обчислюється за формулою

V = а3,

де а — довжина ребра куба. Саме тому третій степінь числа називають кубом числа.

Приклад: Знайти об`єм прямокутного паралелепіпеда, який має виміри 4 см, 5 см та 3 см. За формулою

V=4*5*3= 60 см3

Для обчислення об`єму куба зі стороною 5 см необхідно V=5*5*5=125 см3.

Project Урок 8.Обчислення об`ємів

 

Приклади

     Обчислення площ геометричних фігур

І рівень складності.

Задача. Обчислити площу прямокутника зі сторонами:

1)    14 см і 8 см; 2) 14 см і 80 мм; 3) 14 см і друга в 2 рази менша.

Рішення:

1)    скористуємось формулою знаходження площі прямокутника,

                                          

 S=14*8=112 см2;

2)    Спочатку потрібно 80 мм перевести в см, отже 80 мм=8 см і S=14*8=112 см2;

3)    Знайдемо другу сторону 14/2=7 см, потім за формулою S=14*7=98 см2

 

Обчислити площу квадрата, якщо:

1)    сторона 7 дм;

2)    периметр 24 см;

3)    його периметр дорівнює периметру прямокутника зі сторонами 10 і 12 см.

Рішення:

1)    за формулою обчислення площі квадрата

                                                                         S=7*7=49 см2;

2)    якщо периметр 24 см, то сторона квадрата 24/4=6 см, отже його площа S=6*6=36 см2;

3)    знайдемо периметр прямокутника Р=2*(10+12)=2*22=44 см, а периметр квадрата дорівнює периметру прямокутника, отже сторона квадрата 44/4=11 см, тоді його площа 11*11=121 см2.

4) знайти площу геометричної фігури.

Розв`яжи самостійно завдання.

1.     Яка площа квадрата зі стороною 9 см?

2.     Яка площа прямокутника зі сторонами 5 см і 3 см?

3.     Периметр квадрата 20 см. Знайти його площу

4.     Площа прямокутника 126 см2, його довжина – 21 см. Чому дорівнює ширина прямокутника.

Для того, щоб ти став успішною людиною, необхідно швидко і правильно уміти переходити від одних одиниць вимірювання площ до інших. Давай навчимося це робити.

                                  

Завдання:

1. 1) Скільки квадратних сантиметрів містить 1 дм2, 1 м2,   1 га, 1а ?

      Рішення: 1 дм=100 см2,  1 м2=100 дм2,   1 га=100 а,  1а=100 м2.

     2) Скільки квадратних метрів містить 1 км2?

     Рішення: 1 км2=100 га=100*10000 = 1000000 м2.

2. Виразіть:

1) в арах: 12 га; 45 га; 6 га 28 а; 14 га 68 а; 32 400 м2; 123 800 м2; 2 км2 14 га 5 а;

4 -км2 72 га 16 а;

2) у квадратних метрах: 5 а; 17 а; 8 га; 63 га;

5 га 72 а; 14 га 43 а;

3) у гектарах і арах: 530 а; 1204 а; 16 300 м2; 85 200 м2.

3.  Виразіть:

1) у квадратних сантиметрах: 8 дм2; 16 дм2; 4 м2; 38 м2; 16 м2 19 дм2; 74 м2 3 дм2;

2) у гектарах: 340 000 м2; 5 830 000 м2; 53 км2; 14 км2; 5 км2 18 га; 24 км2 6 ва2. 

 

Перевір себе.

1.     Скільки сантиметрів у 1 м [міліметрів у 1 дм]? Відповідь: 100 см, 100мм

2.     Яку довжину має сторона квадрата, якщо його площа 1 га [1 ар]? Відповідь: 100 м, 10 м

3.     Скільки квадратів зі стороною 1м  міститься у 1 арі [1 га]? Відповідь: 100, 10000

4.     Виразити у квадратних метрах 3 ари [5 арів].  Відповідь: 300, 500

5.     Виразити у квадратних метрах  30 га [500 га]. Відповідь: 300000, 5000000.

Вивчи таблицю співвідношень між одиницями вимірювання площі! Адже саме ці знання стане ключем до твого майбутнього успіху!

 

 

ІІ рівень складності.

1. Чи вистачить 5 т гороху, щоб засіяти ним поле, що має форму прямокутника зі сторонами 500 м і 400 м, якщо на 1 га землі треба висіяти 260 кг гороху?

Рішення: знайдемо площу прямокутної ділянки S= 500*400=200000 м2=20 га , 20*260=5200 кг=5 т 200 кг гороху.

Відповідь: не вистачить.

 2.  Батько вирішив обкласти кахлем стіну кухні, довжина якої дорівнює 6 м, а висота — 3 м. Чи вистачить йому 5 ящиків кахлю, якщо одна плитка має форму квадрата зі стороною 15 см, а в один ящик уміщується 160 плиток?

Рішення: знайдемо площу стіни S=6*3=18 м2 ,  1 м2=100 дм2=100*100=10000 см2 , обчислимо загальну площу 5 ящиків кахлю (1 плитка S=15*15=225 см2) , 5*160*225=180000 см2=18 м2

Відповідь: кахлю вистачить.

3.  Фермер Петро Працелюб посіяв огірки у теплиці, довжина якої дорівнює 16 м 50 см, а ширина — 12 м. Скільки кілограмів огірків збере він у своїй теплиці, якщо з 1 м2 збирають 30 кг огірків? Рішення дивись у задачі 1.

4.  Витрати емалевої фарби ПФ-115 на одношарове покриття становлять 180 г на 1 м2. Чи вистачить 3 кг емалі, щоб пофарбувати стіну довжиною 6 м і висотою 3 м? Рішення дивись у задачі 2.

Весела майстерня 

                                                                                                                                  

1. Знайди розгортки прямокутного паралелепіпеда та куба. Виготуй моделі цих геометричних фігур, вибравши розміри на власний вибір. Обчисли об`єми даних фігур, використавши отримані знання.

 

2. Візьми  прямокутний лист паперу площею, яка дорівнює 12 см2. Скільки квадратів площею 4 см2можна вирізати з цього прямокутника?

Виріжи ці прямокутники, зроби висновки.

 

3. Подумай, як  можна розрізати квадрат на кілька частин так, щоб з них можна було скласти два квадрати, довжини сторін яких виражаються цілим числом сантиметрів, якщо сторона даного квадрата дорівнює:

1) 5 см;

2) 6 см?

Чи завжди задача буде мати рішення?  

Знаходження об`ємів геометричних фігур 

1. Виміри прямокутного паралелепіпеда  дорівнюють 9 см, 5 см і 6 см. Обчисліть суму довжин усіх його ребер та його об`єм.  

Рішення:  сума довжин ребер (9+5+6)*4=80 см, об`єм V=9*5*6=270 см3.

2. Знайдіть суму довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда та його об`єм, виміри якого дорівнюють 13 см, 16 см, 21 см.

Виконай завдання самостійно. 

 

3. Знайдіть суму довжин усіх ребер та площу поверхні куба, якщо його ребро дорівнює 7 см. 

Рішення: сума довжин ребер 12*7=84 ( у куба всі ребра рівні між собою), об`єм V=7*7*7=343 см3 .

 

4. Чому дорівнює об'єм куба, ребро якого 6 см?  Виконай самостійно.

      

 

1. Виразіть:

1) у кубічних міліметрах: 7 см3; 38 см3; 12 см3 243 мм3; 42 см3 68 мм3; 54 см3 4 мм3; 1 дм3 20 мм3; 18 дм3 172 см3;

2) у кубічних дециметрах: 4 м3; 264 м3; 10 м3 857 дм3; 28 м3 2 дм3; 44 000 см3; 5 430 000 см3.  

Рішення: 1) 7 см3 = 7000 мм3 , 172 см3 = 172000 мм3

                2)  4 м3 =4000 дм3 ,    10 м3 857 дм = 10857 дм3

 Інші приклади виконай самостійно. 

. Виразіть у кубічних сантиметрах: 8 дм3; 62 дм3; 378 000 мм3; 520 000 мм3; 78 дм3 325 см3

Використай таблицю  

 

 

3. Ребро одного куба в 4 рази більше за ребро другого. У скільки разів об'єм першого куба більший за об'єм другого? 

Відповідь: у 64 рази. Поясни чому ? 

 

4. Як зміниться об'єм прямокутного паралелепіпеда, якщо:

1) кожний вимір збільшити у 2 рази; (відповідь: збільшиться у 8 разів)

2) довжину зменшити в 3 рази, ширину збільшити в 15 разів, висоту зменшити в 5 разів? ( відповідь: не зміниться)

 

5. У басейн, площа дна якого дорівнює 1 га, налили мільйон літрів води. Чи можна в цьому басейні провести змагання з плавання серед учнів п'ятого класу? 

 

 

 

 

 

 

 

 


1
2
3
4
5