7 класс Геометрия Тема " Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности. Немного теории + разбор элементарных задач


ТЕМА :Взаимное  расположение  прямой  и  окружности. Касательная  к  окружности. Немного  теории +  разбор  элементарных  задач"

Давайте  подумаем  как  могут  располагаться  на  плоскости ( например, на  столе)  прямая  и  окружность ?
Возможны  три  варианта :  не  соприкасаются, пересекаются , касаются. Рассмотрим  все  три  случая  по-отдельности :
Обозначим    d-  кратчайшее  расстояние  от  прямой  до  центра  окружности  ,   r-  радиус  окружности .


Итак ,  если  кратчайшее  расстояние  между  прямой  и    центром окружности  меньше , чем  радиус  окружности ,  то  прямая  и  окружность  пересекаются , т.е.  имеют  две  общие  точки.

Если  кратчайшее  расстояние  между  прямой  и    центром окружности  равен   радиусу  окружности ,  то  прямая  и  окружность  касаются , т.е.  имеют  одну  общую  точку.

Если  кратчайшее  расстояние  между  прямой  и    центром окружности  больше , чем  радиус  окружности ,  то  прямая  и  окружность  не  имеют  общих  точек  вообще.

ИТАК,    ЗАКРЕПИМ  !!!!

Рассмотрим  пару  заданий.


Следующие  ЗАДАНИЯ  ВЫПОЛНИТЕ  САМОСТОЯТЕЛЬНО :      В  ДАННЫХ   ЗАДАНИЯХ   S-  это  d


А  теперь  поговорим  конкретно  об окружности  и  ее  касательной :



РАССМОТРИМ  НЕСКОЛЬКО  ЗАДАЧ  и  подробно  разберем  несколько  тестовых  заданий

РЕШЕНИЕ  :
По  условию , АВ- касательная  и  ВС- это  диаметр. Точка  В - точка  касания  касательной  и  окружности, диаметр  ВС-  это  два  радиуса  СО  и  ВО. По  свойству  касательная  перпендикулярна  радиусу  окружности  в  точке  касания,  значит , угол АВС= 90 градусов. Т.о.  треугольник  АВС- прямоугольный.
ОТВЕТ : тр-к  АВС -  прямоугольный.
 Рассмотрим  несколько  тестовых  заданий  с  предоставленными  ответами :



 Т.О  АНАЛИЗИРУЕМ  задания  1  и  4
 Через  одну  точку  на  окружности  можно провести  только  одну  касательную, НО  можно  провести  множество  окружностей  , которые  будут  касаться  данной  прямой в одной конкретной данной точке.
А  если  нужны  окружности , которые  касаются одной и той же прямой в данной  точке ,и  при  этом  окружности  должны  иметь  одинаковый  радиус ?

Продолжаем  и  немного  усложняемся.
 
ВНИМАНИЕ !!!!!   Прямоугольничек--это  краткое  обзначение  слова  угол !!!!!



ВНИМАНИЕ  !!!!!   РАЗБИРАЕМ  ТОЛЬКО  ПЕРВУЮ  ЗАДАЧУ  !!
РЕШЕНИЕ   1  ЗАДАЧИ :
Рассмотрим  ВНИМАТЕЛЬНО  чертеж  --- ОА-радиус  окружности, прямая в  или СД-касательная  к  этой  окружности, причем  касается  этой окружности  в  точке  А , следовательно, угол ОАВ=углу ОАД= 90 градусов.
Кроме  этого  , видим, что  по  условию  задачи  отрезки  АС  и  АД  равны ( одинаковые  метки)
Рассмотрим  треугольники  ОАС  и  ОАД  ,  в  них :  ОА--общая  сторона , АС=АД  по  условию,углы  ОАС=ОАД=90.
Значит, треугольники ОАС  и  ОАД  равны  по  первому  признаку  равенства  треугольников , а  значит, их  соответствующие  стороны  равны.  СЛЕДОВАТЕЛЬНО , ОС=ОД.                                     ч.т.д.

РЕШЕНИЕ :
Рассмотрим  чертеж :  АС  и  АВ  ---касательные  к  окружности ,  проведенные  из  одной  и  той  же  точки  А,  а  значит, по  свойству  (  из  сегодняшнего  урока,  о  том  ,  что  ,  отрезки  кательных , проведенные  из  одной  и  то-же  точки  к  одной  и  той-же  окружности---РАВНЫ) . следовательно,  АС=АВ . Кроме  этого,  отрезки  ОС  и  ОВ  --это  радиусы  окружности , а  значит. тоже  равны.
Рассмотрим  тр-к  ОСА ,  в  нем : угол  СОА=90 ,( по  св-ву  касательной  к  окружности), ОС= r   и  по  условию  ОА=2r . Делаем  вывод , что тр-к ОСА  прямоугольный  и  в  нем  гипотенуза  ОА  в  два  раза  больше, чем  катет ОС.  Это  возможно ( по  свойству  прямоугольных  треугольников) только  в  тех  прямоугольных  треугольниках, у которых  данный  катет  лежит  напротив  угла  30  градусов. Следовательно, угол ОАС=30
Рассмотрим угол  САВ,  по  выученному  сегодня  свойству  (  две  касательных  из  одной  точки, см.выше),  он  в  два  раза  больше, чем  угол ОАС  ,  т.е.  угол ВАС= 2 ОАС , т.о.  ВАС=2 * 30 = 60 градусов.
ОТВЕТ :  60 градусов.

РЕШЕНИЕ :
АВ  и  АН ---это  две  касательные ,проведенные  из  одной  и  той-же  точки  А  к  верхней  окружности,  а  значит  по  свойству  касательных,  проведенных  из  одной  точки  к  окружности ,  отрезки  АВ= АН .
АН  и  АС ---это  две  касательные ,проведенные  из  одной  и  той-же  точки  А  к  нижней   окружности,  а  значит  по  свойству  касательных,  проведенных  из  одной  точки  к  окружности ,  отрезки  АС= АН .
 Т.О.  мы  получаем , что АВ=АН=АС ,  т.е  АВ=АС
Ответ : АВ=АН
РЕШЕНИЕ   СЛЕДУЮЩИХ  ДВУХ    ЗАДАЧ   ДЕЛАЕМ   САМОСТОЯТЕЛЬНО  !!! 
 В  ПЕРВОЙ  ---ДОКАЗЫВАЕМ   ТОЛЬКО  РАВЕНСТВО  АВ  и  СК   !!!!   ВТОРУЮ  ПИСЬМЕННО !!


Рассмотрим  еще  одну  задачу :

РЕШЕНИЕ:
1.  Отрезки  ВМ=ВК=4  (  по  свойству  касательных, проведенных  из  одной  точки  к  окружности) , т.к.  это  отрезки  двух  касательных, проведенных  из  одной  точки  В  к  окружности.
2.  Отрезки  СN=СК=8  (  по  свойству  касательных, проведенных  из  одной  точки  к  окружности) , т.к.  это  отрезки  двух  касательных, проведенных  из  одной  точки  С  к  окружности.
3.  Отрезки  АМ=АN=5  (  по  свойству  касательных, проведенных  из  одной  точки  к  окружности) , т.к.  это  отрезки  двух  касательных, проведенных  из  одной  точки  А  к  окружности.
4.  Рассмотрим  периметр  тр-ка АВС
Р= АВ+ВС+АС=АМ+МВ+ВК+КС+CN+NA=5+4+4+8+8+5 = 34
 ОТВЕТ :  Р = 24  см.
 НАПОМИНАЮ   ВАШЕ  Д/З  ПО  ЭТОМУ  УРОКУ  , которое  вы  найдете  внимательно  проработав  этот  урок. НАПОМИНАЮ ! Задания  выполняем  на  1  листе, пишем  ФИО, класс,предмет, тему  урока  и  решение с краткими объяснениями и пересылаем  мне  на  скайп  , либо  на  личный  Вайбер.

1. пять  заданий  на  расположение  прямой  и  окружности
2. задача  на  доказательство
3. задача  на  нахождение  величины  угла

Подобається