Вивчення елементів комбінаторики, теорії ймовірностей та статистики

 

 

Відділ освіти криворізької державної районної адміністрації

Вивчення елементів комбінаторики, теорії ймовірностей та статистики в основній школі

(на допомогу вчителям математики 5-9 класів)

 

                                                             Тищенко  Валентина Вікторівна,                      

                                        вчитель математики

                                                                   Зеленогайської неповної середньої   

                                                                   загальноосвітньої школи ,

                                                                   Криворізького району

                                                                   вчитель 1 категорії.

 

 

 

 

 

 

 

 

2011 рік

 

Анотація.

             

 

              Ця брошура містить матеріал із зазначеної теми, який відсутній у підручниках з математики, або є в дуже обмеженій кількості, а також рекомендації впровадження змістової лінії вивчення елементів комбінаторики, теорії ймовірності, елементів статистики, надруковані в газеті «Математика» в різні роки.

              Майже 70 задач допоможуть вчителю з дидактичним наповненням вивчення зазначеної теми.

              Буде корисна вчителям математики, які викладають в 5-9 класах основної школи.

 

 

 

 

 

 

 


Зміст

Вступ. 4

1. Цілі вивчення елементів комбінаторики, ймовірності, статистики. 5

2. Неперервність вивчення елементів стохастики. 6

Початкова школа. 6

5—6-й класи. 7

7—9-й класи. 7

10—11-й класи. 7

3. Методичні рекомендації щодо формування комбінаторного, ймовірнісно-статистичного мислення учнів початкової школи. 7

4. Методичні рекомендації до навчання елементів комбінаторики, ймовірності, статистики в основній школі. 10

5. Міжпредметні зв'язки нової змістової лінії. 10

6. Теоретичні відомості з комбінаторики для вчителя. 12

Вказівки по розв'язуванню комбінаторних задач для учнів 2-6 класів. 26

Задачі на комбінаторику для 7-9 класів. 32

Ще декілька задач для розв язування. 36

Література ……………………………………………………………………..37

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

 

В розбудові національної системи освіти головну роль відіграє модернізація змісту і методичного забезпечення шкільноі' освіти, головне завдання якої полягає в забезпеченні розвитку особистих якостей людини, розкритті її творчого потенціалу, підвищенні ефективності навчально-виховного процесу для надання навчальній діяльності творчого, дослідницького характеру.

Шкільний вік -  найсприятливіший період для розкриття творчих можливостей людини. Адже це те джерело творчого потенціалу нашої країни, яке треба вчасно не упустити в своєму розвитку .

Вивчення елементів комбінаторики, теорії ймовір­ностей, математичної статистики у шкільному курсі математики стало реальним з 1996 року, коли до програм, затверджених Міністерством освіти і на­уки України, ці питання було внесено.

Нова змістова лінія насамперед покликана роз­винути один із спеціальних типів мислення — ймо­вірнісно-статистичний, який необхідний сучасній людині як у загальнокультурному плані, так і для професійного становлення. Адже розвинуте суспіль­ство ставить до своїх членів досить високі вимоги, які відносяться до вміння аналізувати випадкові факти, оцінювати шанси, висувати гіпотези, прогнозу­вати розвиток ситуації і, нарешті, приймати рішен­ня в ситуаціях, які мають імовірнісний характер, у ситуаціях невизначеності. Тому головна мета вив­чення елементів комбінаторики, теорії ймовірності й статистики полягає у формуванні розуміння де­термінованості та випадковості, допомозі в усвідом­ленні того, що багато законів природи і суспільства мають імовірнісний характер, що багато реальних явищ і процесів описуються ймовірнісними моделя­ми.

Важливою обставиною на користь уведення да­ного курсу було й те, що у багатьох розвинених краї­нах уже десятки років вивчають елементи комбіна­торики, статистики, ймовірності у школі.

У завданнях зов­нішнього тестування  міститься одне завдання ймовірнісного характеру і це, безумовно, впливати­ме на ставлення вчителів та учнів до викладання і вивчення відповідного матеріалу.В останні роки відбулися позитивні зрушення щодо впровадження нової змістової лінії у зміст шкільної освіти: вона ввійшла до затвердженого стан­дарту базової та повної середньої освіти,  відоб­ражена у програмах, навчальних посібниках; її об­говорюють на сторінках методичних видань, більше уваги приділяють методиці викладання комбіна­торики, ймовірності, статистики під час підготов­ки вчителів та на курсах підвищення їх кваліфі­кації.

Затверджений у 2000 році постановою Кабінету Міністрів України державний стандарт загальної початкової освіти не передбачає формування комбінаторного та ймо­вірнісно-статистичного мислення у молодшому шкільному віці. Наявні підручники з математики для 5—6-х класів зовсім не містять матеріалу, пов'язано­го з імовірністю, комбінаторикою, статистикою. У підручниках з алгебри для 7—9-х класів його або зовсім немає, або пропонують це наприкінці 9-го класу, тобто не можна вести мову про пропедевтич­не вивчення цього матеріалу в основній школі. На сторінках методичних видань, у деяких підручниках, у дидактичних матеріалах, присвячених імовірніс­но-статистичній змістовій лінії, нерідко зустрічаються помилки математичного характеру, застарілі термі­ни, невдалі методичні підходи.

Тому є потреба у розробці комплексної виваже­ної програми впровадження елементів стохастики у шкільну освіту.

шкільну освіту, колективного обговорення назрілих проблем математичної освіти. Треба зробити все можливе для того, щоб уведення ймовірнісно-ста­тистичної лінії стало безповоротним.

 

1. Цілі вивчення елементів комбінаторики, ймовір­ності, статистики.

 

Уведення стохастичної змістової лінії передбачає формування таких видів діяльності, як:

•  перебирання або обчислення кількості конфі­гурацій елементів, які задовольняють заздалегідь за­дані властивості;

•  побудова найпростіших імовірнісних моделей реальних процесів і явищ;

•  аналіз емпіричних даних, який включає само­стійний збір даних, проведення експериментів, пер­вісну обробку статистичного матеріалу, статистичні висновки.

Перелічені види діяльності, власне кажучи, сто­суються комбінаторики, ймовірності, статистики. Ці види діяльності взаємопов'язані і спрямовані на на­вчання учнів аналізу даних.

Головною метою вивчення елементів комбіна­торики в школі є формування спеціального типу мислення — комбінаторного, формування в учнів видів діяльності, пов’язаних з перебиранням та обчислен­ням конфігурацій елементів, які задовольняють певні умови.

У результаті вивчення цього розділу випускник школи має, на наш погляд, мати можливість навчи­тися:

знаходите кількість варіантів вибору деякої кількості елементів із заданої сукупності, коли вибір здійснюється з поверненням або без повернення, коли результати вибору залежать від порядку витягування елементів або не залежать;

визначати кількість способів розбиття сукуп­ності різних або однакових предметів на задану

кількість груп;

 використовувати найпростіші комбінаторні схеми для обчислення ймовірностей подій у класичній моделі; 

• застосовувати головні комбінаторні ідеї для мо­делювання реальних процесів і явищ.

      Головною метою вивчення елементів теорії ймовір­ностей є побудова та застосування математичних мо­делей явищ, що враховують вплив випадку, аналіз ре­зультатів, одержаних за допомогою ймовірнісних мо­делей.

У результаті вивчення цього розділу учень має вміти:   -

оцінювати ймовірність події за її відносною час­тотою та навпаки;

оцінювати числові характеристики випадкової ве­личини за вибірковими характеристиками та навпаки; обчислювати ймовірність події, користуючись її означенням і найпростішими властивостями;

обчислювати математичне сподівання випадкової величини за законом її розподілу;

застосовувати ймовірнісні моделі в найпростіших випадках для оцінювання ризику, шансів в іграх, для прийняття рішення в ситуаціях, що залежать від ви­падку.

Головною метою вивчення елементів статистики в школі є формування навичок первинної обробки статистичних даних, зображення й аналіз кількісної інформації, представленої у різних формах (у виг­ляді таблиць, діаграм, графіків реальних залежнос­тей), формування уявлень про важливі статистичні ідеї, а саме: ідеї оцінювання та ідеї перевірки стати­стичних гіпотез; формування навичок порівняння ймовірностей настання випадкових подій із резуль­татами конкретних статистичних експериментів.

У результаті вивчення цього розділу учень має вміти:

зображати результати експериментів, спостере­жень, опитувань у вигляді таблиць, графіків, діаграм; інтерпретувати таблиці, схеми, діаграми, гра­фіки;

проводити нескладні опитування, спостереження, збирати кількісну інформацію;

обчислювати та застосовувати різні вибіркові ха­рактеристики;

оцінювати невідомі параметри за статистични­ми даними у найпростіших випадках;

перевіряти у найпростіших випадках гіпотези за статистичними даними;

порівнювати ймовірності випадкових подій, мате­матичні сподівання випадкових величин з відповідними статистичними характеристиками.

2. Неперервність вивчення елементів стохастики.

 

Закордонний досвід і дослідження вітчизняних ме­тодистів свідчать про те, що ознайомлення учнів з елементами комбінаторики, ймовірності, статистики до­цільно (і це можливо) починати з початкової школи.

На всіх етапах навчання фактично формуються ті самі види діяльності, але на різних рівнях і різни­ми засобами.

Розглянемо зміст навчання для кожного етапу на­вчання.

Початкова школа

Комбінаторика. Ігрові комбінаторні задачі, що розв’язуються безпосереднім перебором можливих ва­ріантів.

Імовірність. Формування таких понять, як «на­певно», «ніколи», «можливо так, можливо ні». Якіс­на оцінка шансів настання тієї чи іншої події.

     Статистика. Проведення експериментів, реєстра­ція результатів цих експериментів, зображення їх, наприклад, у вигляді таблиць, і їх інтерпретація. Чи­тання таблиць, зокрема таблиць розмірами 2x2.

5—6-й класи

Комбінаторика. Розв'язування комбінаторних за­дач перебором можливих варіантів.

Імовірність. Достовірна, неможлива, випадкова події. Порівняння шансів настання випадкових подій на основі інтуїтивних міркувань, на класичній, ста­тистичній засадах, за допомогою геометричних мірку­вань.

    Статистика. Збір, реєстрація статистичних даних, зображення їх у вигляді таблиць, діаграм. Читання таблиць і діаграм. Проведення експериментів.

7—9-й класи

Комбінаторика. Розв'язування комбінаторних за­дач на застосування правил множення і додавання. Трикутник Паскаля.

Імовірність. Випадковий дослід, випадкова подія. Обчислення ймовірностей настання випадкових подій на класичній, статистичній засадах, за допо­могою геометричних міркувань.

Статистика. Первинна обробка статистичних да­них. Графічне зображення статистичних даних. Ви­біркові характеристики (середнє арифметичне, мода, медіана тощо).

10—11-й класи

     Комбінаторика. Розміщення, перестановки, ком­бінації.

Імовірність. Випадковий дослід і випадкова подія. Відносна частота події. Імовірність події. Операції над подіями. Імовірності суми та добутку подій.

Дискретна випадкова величина, закон її розпо­ділу. Числові характеристики дискретної випадко­вої величини та їх властивості. Вибіркові характери­стики. Поняття про закон великих чисел.

Статистика. Вибірковий метод у статистиці. Оц­інювання невідомих параметрів. Перевірка гіпо­тез.

3. Методичні рекомендації щодо формування

ком­бінаторного, ймовірнісно-статистичного мислення

учнів початкової школи.

 

Навчати комбінаторики можна, залучаючи дітей до проведення численних дослідів, до предметної діяльності з кубиками, гральними костями, прапор­цями, монетами, кулями, намистинами та іншими іграшками. Можна утворювати різні слова з букв абетки або зі складів, числа з цифр, звуки з нот. Доцільно таку діяльність організовувати в провій формі. У ході гри учні утворюють різні послідов­ності, які задовольняють певні умови. Беручи активну участь у таких іграх, діти змо­жуть:

•  зрозуміти деякий набір правил і визначити, чи задовольняє дана послідовність дану умову;

•  розпізнати, чи є дана послідовність новою, чи повторює одну з попередніх;

•  знаходити нові різні послідовності, які задо­вольняють умову;

. • виявити у простих випадках усі варіанти;

• вчитися розуміти, чому не можна більше скласти нову послідовність.

Головною при­чиною для введення ймовірності так рано, як це мож­ливо, є фундаментальна відмінність цього розділу математики від інших її розділів. Коли відповідні ідеї надто довго залишаються прихованими, діти отримують вузьке та деформоване уявлення про всю математику, її могутність і можливості. Як відомо, теорія ймовірностей має справу з випадковими по­діями. Важливо, щоб діти якомога раніше зрозумі­ли, що є події, які завжди відбуваються при прове­денні досліду, є події, які ніколи не відбуваються в цьому досліді, а є такі, що можуть відбутися, а мо­жуть і не відбутися. Тобто, в ігровій ситуації доціль­но починати вчити дітей розрізняти такі поняття, як «можливо так», або «безумовно так» (напевно), «не обов'язково так», або «обов'язково не так». Так при­ходимо до поняття випадкової події.

Під час вивчення математики мислення учнів «втискається» у тісні межі системи з двома наслідка­ми «так» і «ні», або «істина» та «хибність», або «мож­ливо» та «неможливо». Ця система не може відобра­зити різноманіття навколишнього світу, оскільки відкидає все те, що знаходиться між двома назва­ними крайностями. Тому жорстка математична модель розширюється до надзвичайно гнучкої, яка уможливлює ширше застосування математичних методів.

Уже у ранньому віці слід підвести дітей до розумін­ня таких понять, як «імовірніше», «менше ймовірно», «рівно можливо», тобто можна навчити дітей якісно оцінювати шанси настання випадкової події. Учнів Початкових класів доцільно навчати розуміти, що коли в ящику білих куль більше ніж чорних, то при витягу­ванні з поверненням білі кулі витягуватимуть частіше порівняно з чорними. Аналогічно, якщо у кількох ящичках міститься однакова кількість білих куль, але загальна кількість куль у цих ящичках різна, то мож­ливість витягти білу кулю найбільша для того ящичка, який містить найменшу загальну кількість куль. Так само, якщо кілька ящичків містять однакову загальну кількість куль, а кількість білих куль різна, то мож­ливість витягти білу кулю найбільша для того ящичка, який містить найбільшу кількість білих куль.

Фактично у цих прикладах йдеться про застосу­вання класичної ймовірності. Але дійти до свідомо­го застосування формули класичної ймовірності мо­лодші школярі зможуть після тривалого експеримен­тування з ґудзиками, кулями, монетами, намисти­нами, гральними костями тощо. Через деякий час учні початкової школи зможуть розв'язувати такі задачі, не виконуючи експеримент.

Доцільно розглядати й задачі, де учні зможуть відповісти на поставлені запитання двома способа­ми: перебором усіх можливих варіантів і проведен­ням експериментів.

Слід з часом підвести учнів до висновку, що відповіді на такі й аналогічні запитання потребують проведення великої кількості експериментів, що, ґрунтуючись на невеликій кількості дослідів, можна припуститися помилок.

Після цього виникає ідея, що ймовірність можна оцінити числом. Але для викладення ймовірнісних понять необхідне поняття дробу, і це може бути фак­тором, що обмежує вивчення відповідного матеріа­лу. З іншого боку, вивчення ймовірності дає ще один мотив на користь введення та використання дробів, починаючи з 4-го класу.

Подібними завданнями можна підвести учнів до висновку про те, що бажано мати засоби для отри­мання статистичних даних шляхом імітації фізич­них дослідів, тобто мотивувати користування різни­ми генераторами випадкових чисел, зокрема побу­дову та використання в основній і старшій школах таблиць випадкових чисел, або датчиком випадко­вих чисел на ПЕОМ (персональній електронно-об­числювальній машині).

Проведення таких експериментів сприятиме ви­хованню відповідальності учнів за результати своєї діяльності: від того, наскільки ретельно перемішані кулі, чи не підглядали «дослідники» під час витягу­вання куль, чи правильно записані результати дослідів, залежить правильність висновків.

Задачі на формування таких понять, як «імовір­ніше», «менше ймовірно», «рівно можливо» сприя­ють формуванню ймовірнісної інтуїції учнів. Навіть без кількісного вимірювання ймовірності молодші учні з часом прийдуть до таких понять, як «майже неможливо», «майже вірогідно». Тим самим посту­пово формуватиметься свідоме ставлення до азарт­них ігор.

Раніше наголошувалося на тому, що міркування, які пов'язані з обчисленням кількості можливостей, або з оцінюванням шансів настання тієї чи іншої події, доцільно порівнювати з результатами конк­ретних статистичних експериментів. Більше того, таке оцінювання часто можна здійснити саме за цими результатами. Фактично йшлося про елементи ста­тистики. Якщо метою вивчення теорії ймовірностей є побудова математичних моделей, які описують дану ймовірнісну ситуацію і враховують вплив випадку, то математична статистика розробляє методи, які дають змогу за результатами випробувань робити певні висновки.

Чому можливо та доцільно вчити цього учнів початкової школи? Закордонний досвід свідчить, що передусім молодших школярів можна вчити інтерпретувати таблиці, схеми, діаграми, графіки. Молодших школярів, на наш погляд, слід залуча­ти до проведення експериментів, опитувань. На­ведені далі приклади, з одного боку, показують, що суспільно значуща діяльність цілком доступна дітям. З іншого боку, такі досліди разом з аналі­зом їх результатів сприятимуть розвитку дослід­ницьких якостей учнів. Так, щоденник погоди, який ведуть у початковій школі, дає яскравий ма­теріал для навчання учнів інтерпретації статистич­них даних.

У молодших класах можна та доцільно розпо­чати формувати розуміння важливих статистичних ідей, а саме: ідеї оцінювання та ідеї перевірки ста­тистичних гіпотез. Доцільно формувати розумін­ня того, що коли білі кулі під час витягування з поверненням трапляються значно частіше ніж чорні, то ймовірно, що їх більше. У цьому випадку природно гіпотезу про те, що білих і чорних куль у ящичку однакова кількість, треба відкинути.

4. Методичні рекомендації до навчання елементів комбінаторики, ймовірності, статистики в основній школі.

Стрижнем, який зв'язує нову лінію зі шкільним курсом математики, є метод ма­тематичного моделювання. Це тому, що ймовірніс­но-статистичний матеріал може істотно використо­вуватися під час навчання учнів математичного моделювання — найважливішого виду математичної діяльності. Адже навіть звичайні навчальні задачі, які стосуються елементів теорії ймовірностей, роз­в'язуються за трьома відомими етапами. Так, задача на обчислення числових характеристик випадкових величин, що задані описово, передбачає:

1) побудову математичної моделі випадкового досліду, тобто побудову закону розподілу випадко­вої величини;

2) розв'язування задачі в межах побудованої мо­делі, а саме, обчислення математичного сподівання чи дисперсії за означенням або з використанням властивостей;

3) статистичну інтерпретацію результатів.

Аналогічна ситуація має місце і в задачах на зна­ходження ймовірності події в досліді, що задається описово. Це загальний підхід. Слід підсилити увагу до аналі­зу даних, обробки статистичного матеріалу. Це можна робити у різних розділах. Наприклад, у 5-му класі — формуючи поняття середнього арифметичного двох або кількох чисел, вивчаючи проценти; у 6-му класі — розглядаючи лінійні, стовпчасті та кругові діаграми, у 9-му — в розділі «Елементи прикладної математи­ки», у 7—11-х класах — вивчаючи функції, таблич­ний спосіб їх задавання, їх окремі класи тощо.

Однак загальні підходи не виключають і встанов­лення окремих (тільки не штучних) зв'язків. Наприк­лад, якщо у початковій школі розглядалось якісне оцінювання ймовірності подій, то можна підвести учнів до висновку про кількісне оцінювання ймовір­ності (у свій час це можна використати, разом з інши­ми, як мотив для вивчення дробових чисел). Основні комбінаторні схеми доцільно застосовувати під час розв'язування комбінаторних геометричних задач (знаходження кількості діагоналей многокутника, кількості точок перетину прямих, кількості прямих перетину площин тощо). Комбінаторні міркування можна використати під час доведення тотожностей. Статистичне тлумачення ймовірності можна засто­сувати, пояснюючи статистичний характер правил підрахунку цифр. Згадані питання можуть розглядати­ся на позакласних заняттях. Пошук таких застосу­вань може стати одним з напрямків дослідницької методичної роботи, значущість якої важко пере­оцінити.

5. Міжпредметні зв'язки нової змістової лінії.

Успіх уведення нової змістової лінії багато в чому залежить від того, чи буде матеріал застосовуватися у таких предметах, як фізика, хімія, біологія, істо­рія, географія. І навпаки, чи буде матеріал із цих дисциплін використовуватися на уроках математи­ки для мотивації вивчення нових понять, фактів, методів як ілюстрації до матеріалу, що вивчається, як джерела побудови математичних (імовірнісних) моделей тощо.

    Наведемо деякі приклади, які покажуть при­родність і корисність цих зв'язків.

У курсі фізики учні вивчають броунівський рух. Їм пояснюють, що заздалегідь не можна перед­бачити поведінку молекули газу у певний момент часу, нічого певного не можна сказати ні про швидкість її руху, ні про напрям, ні про її темпера­туру, ні про тиск. Вони є випадковими. Для кожної молекули це неможливо. Але для всієї сукупності мо­лекул ці характеристики можна визначити.

На уроках фізики вживаються такі поняття, як середня енергія поступального руху, середня довжи­на вільного пробігу, середня відстань між молекула­ми, середня кількість молекул, що вдарилась о пла­стину, середній імпульс тощо. Безумовно, тут ма­ються на увазі не тільки статистичні поняття, а йдеть­ся про математичне сподівання випадкової величини.

Під час виконання лабораторних робот з фізики або хімії часто пропонують учням деяку величину вимірювати кілька разів і потім за істинне значення параметра, що вимірюється, прийняти середнє ариф­метичне результатів вимірювання. Виникає два за­питання: 1) Чому взагалі середнє арифметичне ре­зультатів вимірювання можна вважати наближеним значенням тієї величини, яка вимірюється? 2) Чому це наближене значення краще, ніж результат кож­ного вимірювання? Відповіді на ці запитання мож­на отримати, якщо звернутися до теорії ймовірнос­тей та математичної статистики.

У курсі біології теоретико - ймовірнісні та статис­тичні поняття з'являються під час вивчення елементів генетики. Імовірнісний характер має механізм пере­дачі спадкових ознак від покоління до покоління. Статистичну основу мають закони Менделя (закон одностайності першого покоління гібридів, закон розщеплення та закон незалежного комбінування ознак). У цих законах на основі численних спосте­режень зроблено висновок про стійкий характер відносних частот і вибіркових середніх та говорить­ся про можливість отримання кількісної характери­стики тієї величини, яка досліджувалася.

Перелік таких прикладів можна продовжити. Зрозуміло, що для свідомого засвоєння наведено­го матеріалу учень, а ще більше вчитель суміжних предметів, має володіти відповідними ймовірніс­но-статистичними поняттями та фактами. З іншо­го боку, вчитель математики має бути ознайомле­ним із застосуваннями елементів теорії ймовірно­стей та математичної статистики у шкільних пред­метах, використовувати їх на уроках математики.

 

6. Теоретичні відомості з комбінаторики для вчителя

В розвитку творчих можливостей дітей шкільного віку велику роль відіграють задачі комбінаторного характеру

Комбінаторика, як розділ математики розглядає задачу підрахунку кількості елементів в різних скінчених множинах.

Якщо задана скінчена множина: Х={а123,...,аn} і n місць, на які можна переставляти елементи даної множини, зміщуючи їх по одному в кожній позиції, то в задачі мова йде  про визначення кількості перестановок, які можна утворити із множини X. їх кількість обчислюється   за формулою:

Р = n!

Якщо із заданої множини X вибирають групи по k елементів в кожній) то кількість таких підгруп - це кількість комбінацій із n елементів по k і обчислюється вона за формулою:

                 n !

Cnk = --------------

            k! ( n-k) !

Якщо із заданої множини X вибирають підмножини по k елементів в кожній, а потім в кожній з таких підмножин здійсняють всі можливі перестановки елементів по k місцях, то кількість таких всіх підмножин це є кількість розміщень, що можна утворити із n елементів по k і обчислюється вона за формулою:

                n!

Akn = -------------

           (n – k ) !

Це є основні поняття комбінаторики. Під час розв'язання комбінаторних задач вчитель  повинен вміти встановлювати, в першу чергу для себе, вид комбінаторного об'єкту, про який йдеться в умові , а також вміти ним вільно оперувати, якщо комбінаторні об'єкти об'єднуються певним чином в умові. Тобто, коли виникають складні сполуки.

Класична комбінаторика головну увагу приділяє підрахунку кількості комбінаторних об'єктів, залишаючи поза увагою задачу їх формування. Справа в тому, що навіть при невеликих значеннях п число перестановок, комбінацій, розміщень і інших комбінаторних об'єктів велике і сформувати, записати кожен із них - задача нелегка. А тому комбінаторні задачі і не знаходили свого належного застосування в початковому курсі математики, незважаючи на їх велику роль в розвитку творчих здібностей дітей. Необхідність в одержані конкретних комбінаторних об'єктів випливає із психологічних особливостей сприймання дітей шкільного віку: "Як можна рахувати ті об'єкти, яких я не бачу?".  Формування умінь і навичок в учнів розв'язувати комбінаторні задачі залежить від готовності вчителя до організації роботи з ними. Для цього вчитель повинен:

1.   Вміти правильно виявити теоретичну основу розв'язання комбінаторної задачі.

2. Провести специфічний для комбінаторних задач аналіз умови з учнями, який направлений на цілеспрямований перебір певним чином обмежених можливостей, що веде до розв'язку задачі.

3.   Вибрати відповідний спосіб фіксації утворених комбінаторних об'єктів.

4. Вміти підбирати системи задач комбінаторного характеру.

5.   Вміти застосовувати традиційні і нетрадиційні методи навчання.

        Формування комбінаторного мислення є важливим завданням впровадження ймовірніс­но-статистичної змістової лінії у шкільну ос­віту. Воно має формуватися неперервно за та­кими етапами:

1) пропедевтичний етап, який охоплює по­чаткову школу, 5—6-й класи;

2) основний етап — 7—9-й класи;

3) завершальний етап — старшу школу.

На першому етапі головним методом розв'я­зування комбінаторних задач є перебір варі­антів. Суттєвим обмеженням методу перебору варіантів є невеликі значення параметрів, які розглядаються в комбінаторній задачі.

На перших порах, особливо у першому класі, під час розв'язування комбінаторних задач необхідні моделі, які б забезпечували дієве утворення  комбінаторних  об'єктів.  Так,  наприклад,  в задачі: "Скількома способами можна одягти ляльку, якщо в неї є три платтячка і два капелюшки?", теоретичною основою якої є правило добутку , ми утворюємо упорядковані пари (платтячко; капелюшок) і кількість цих пар буде дорівнювати кількості елементів декартового добутку множин, тобто 3*2=6. Для учнів процес утворення пар при наявності моделі і їх підрахунок порівняно неважкий. В подальшому, розв'язуючи такі задачі в системі, учні самі відмовляються від діючої моделі і вводять певні способи запису можливих варіантів, як наприклад, графічну модель.

                                   К1                     К1               К1

 

       
 
   

 

                        П1                  П2              П3

 

           
     
 

 

                                    К2               К2               К2

                                                          2        +       2        +       2    =   6

      Але розв'язуючи задачі, теоретичною основою яких є знаходження числа перестановок, як наприклад "Скільки існує упорядкованих наборів із однієї червоної, однієї жовтої і однієї синьої фішок мозаїки?", учні відчувають певні, труднощі. В цих задачах виділяємо такі "правила":

1.                                         Скласти набори із трьох фішок: червоної, жовтої, синьої.

2.                                         Скласти набори так, щоб кожний наступний відрізнявся від попереднього порядком розміщення кольору.

На перших порах, особливо у першому класі, під час розв'язування комбінаторних задач необхідні моделі, які б забезпечували дієве утворення  комбінаторних  об'єктів.  Так,  наприклад,  в задачі: "Скількома способами можна одягти ляльку, якщо в неї є три платтячка і два капелюшки?", теоретичною основою якої є правило добутку , ми утворюємо упорядковані пари (платтячко; капелюшок) і кількість цих пар буде дорівнювати кількості елементів декартового добутку множин, тобто 3*2=6. Для учнів процес утворення пар при наявності моделі і їх підрахунок порівняно неважкий. В подальшому, розв'язуючи такі задачі в системі, учні самі відмовляються від діючої моделі і вводять певні способи запису можливих варіантів, як наприклад, графічну модель.

      Але розв'язуючи задачі, теоретичною основою яких є знаходження числа перестановок, як наприклад "Скільки існує упорядкованих наборів із однієї червоної, однієї жовтої і однієї синьої фішок мозаїки?", учні відчувають певні, труднощі. В цих задачах виділяємо такі "правила":

      1.Скласти набори із трьох фішок: червоної, жовтої, синьої.

2.Скласти набори так, щоб кожний наступний відрізнявся від попереднього порядком розміщення кольору.

       3.Вказати всі можливі упорядкування фішок в таких наборах.

На початковому етапі розв'язування таких задач третє правило є для учнів непосильне. Але поступово вони навчаються здійснювати перебір скінченого числа варіантів, використовуючи звичайну дитячу мозаїку .Після цього перед ними постає більш складна задача, а саме: показати, що більше вже неможливо відшукати жодного набору, який би відрізнявся від попереднього. Найб

Подобається